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证明有限群的元素是有限的

证明：
有限群中每个元素的阶都是有限的并且小于或等于该群的阶。

证明：
假设G是一个有限群，其组成用乘号表示。假设a∈G，考虑a的所有正整数幂，即a，a²，a³，…
根据闭包公理，它们都是G的元素。
因为G有一个有限数量的元素，具有所有这些整数幂不能是 G

的不同元素

认为，

ar = 其中 r > s

现在

ar = 作为
=> ar 。 a-s = as . a-s （两边都乘以 a-s ）
=> ar 。 a-s = a0 (as-s = a0)
=> ar 。 a-s = e
=> am = e，其中 m = r - s

自从

r > s

因此，“m”是正整数。因此，存在一个正整数 m 使得 ^m = e。

现在我们知道每组正整数都有一个最小成员数。
因此，所有这些正整数 m 的集合（使得 ^m = e）具有最小的成员，即 n。因此，存在最小正整数 n 使得

an = e。

因此，a,o(a)的阶数是有限的。
现在证明o(a)≤o(G)。

认为，

o(a) = n，其中 n > o(G)。

由于a∈G，因此根据闭包性质a，a²，…。 a ⁿ 是 G 的一个元素。这些元素中没有两个是相等的。如果可能，令 ^r = a ^s ，1≤s

ar-s = e

自从

0 < r - s < n

所以，

ar-s = e 意味着 a 的阶数小于 n。

这是一个矛盾。因此，a, a ² , ..., a ⁿ 是 G 的 ⁿ 不同元素。由于 n > o(G)，这是不可能的。
因此，我们必须使o(a)≤o(G)。

因此证明有限群(G)的各元素(a,o(a))的阶是有限的且小于等于该群的阶(即o(a)≤o （G）））。