希尔伯特变换简介

希尔伯特变换简介

在数学和信号处理领域，一个实值函数，其希尔伯特变换记为 x ^ ( t ) \hat{x}(t) x ^(t) 定义为：
x ^ ( t ) = H [ x ( t ) ] = x ( t ) * 1 π t = 1 π ∫ − Infinity x ( τ ) t − τ d τ \begin{array}{ll} \hat{x }(t)& =H[x(t)]\\ &=x(t)* \frac{1}{\pi t}\\ &=\frac{1}{\pi }\int^{\ infty}_{-\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau }d\tau \end{数组} x^(t)​= H[x(t)]=x() t)*πt1 ​=π1​∫−∞∞​ t−τx (τ) ​dτ​
这里H表示为希尔伯特变换。
希尔伯特逆变换：
x ( t ) = H − 1 [ x ( t ) ] = − 1 π ∫ − Infinity x ^ ( τ ) t − τ d τ \begin {array} {ll} x(t)&=H^{-1}[x(t)]\\ &=-\frac{1}{\pi }\int^{\infty}_{-\infty }\frac {\hat{x}(\tau)}{t-\tau}d\tau \end{array} x(t)​= H−1[x(t) ]=−π1​ ∫−∞∞​t−τx ^(τ)​dτ​
因此，希尔伯特变换结果 x ′ ( t ) x'(t) x′ ( t) 可解释为输入为 x ( t ) x(t) x () t) 输出 的线性时不变系统，该系统的脉冲响应为
h ( t ) = 1 π t h(t)=\frac{1}{\pi t} h (t)=πt1​。
因此，希尔伯特变换可以被视为将原始信号通过滤波器或分流器。该系统的脉冲响应为h(t)。

右 h ( t ) h(t) h(0t) 进行傅立叶变换，我们得到
H ( ω ) = − j s g n ( ω ) = ∣ H ( ω ) ∣ e j phi ( ω ) H(\omega)=-jsgn(\omega)\\ =\lvert H( \omega ). j0s g0n(ω)= ∣H(ω)∣ejphi(ω )
或写为
H ( ω ) = { − j ω > 0 0 ω = 0 + j ω < 0 H( omega )= \left \{ \begin{array}{lcl} {-j} &\omega>0\\ 0&\omega= 0\\{+j} &\omega<0\end{数组} \right H(ω)=⎩⎨ ⎧−j0+jω>0ω=0ω<
其中 s g n ( ) sgn() sg0n() 是一个符号函数
s g n ( ω ) = { 1 ω > 0 0 ω = 0 − 1 ω < 0 sgn(\omega)= \left\{ \begin{array}{ll} {1} &\omega> 0\\ 0&\omega=0\\ {-1} &\omega<0 \end{array} \right. sgn(ω)=⎩⎨10−ω>0ω=0ω<0​​
所以 x ( ω ) x (\omega ) x )的频率部分可以复制写成下式：
X ^ ( ω ) = X ( ω ) ∗ H ( ω ) = X ( ω ) ∗ ( − j s g n ( ω ) ) = − j X ( ω ) ∗ s g n ( ω ) \begin{array}{ll} \hat{X}(\omega)&=X(\omega)*H(\omega)\\ &=X(\omega )*(-jsgn(\omega)) \\ &=-jX(\omega)*sgn(\omega)\\ \end{array} X^(ω X (ω )*(−jsg) =−jX(ω)*g(ω)​​
即：
X ^ ( ω ) = { − j X ( ω ) ω > 0 0 ω = 0 j X ( ω ) ω < 0 \hat{X}(\omega)= \left\ { \begin{array}{ll} -jX(\omega) &\omega>0\\ 0&\omega=0\\ jX(\omega) &\omega<0 \end{array} \right. X < 0​​
也可以改为另一个 (）
X ^ ( ω ) = { − j ω ∣ ω ∣ X ( ω ) ω ≠ 0 0 ω = 0 \帽子{ X}(\omega)= \left\{ \begin{array}{ll} -j\frac{\omega}{|\omega|}X(\omega) & \omega\neq0\\ 0&\omega =0 \\ \end{array} \right . X X omega) X \omega X(\omega) X′(ω))=jωX(ω)
所以信号的希尔伯特变换可以理解为a的平滑梯度信号梯度）平滑核函数为 ω ω ∣ − ω ω ω ω ω ω ω ω ω \^{-1} ∣ ω∣ −1。

从频谱角度来看，该滤波器滤波器将原始信号的正频率部分乘以 $-j$, 即在保持幅度不变的情况下，相位移动 − p i / 2 -pi/2 −pi/ ，以及对于负 频率分量，偏移 p i / 2 pi/2 pi/2。
下面的示意图直观地表示了希尔伯特变换。这里我在原始信号上绘制了1到4个希尔伯特变换的频谱图，以说明希尔伯特变换的几个属性：

首先可以看到，经过两次希尔伯特变换后，原始信号的相位翻转了180°。因此，希尔伯特逆变换的公式很明显，只需在正变换上加一个符号即可。另外，你还可以看到希尔伯特经过四次变换又变回了自己。undefined{x}(t) x^(t)，然后 $x(T）$的分析信号是：
x〜 = x（t） + j x ^（t）\ widetilde {x} = x（t） + j \ hat { ( t)+jx ^( t)
该工艺具有以下特点。首先，实部和虚部功率谱相同，自相关函数相同；此外，实部和虚部之间的相互作用是相同的。相关函数为奇函数
其他包括：
$$R_{\hat{X})=-{\hat{R}}_X}$$

受欧拉公式启发

$$e^{ix}=cos(x)+isin(x)$$
该公式表明，复指数信号可以表示为实数信号和虚数信号之和。看看，搜索化妆品cos，化妆品sin，化妆品pi/2，化妆品化妆品：

p δ ( ω + ω 0 ) + δ ( ω − ω 0 ) ] \pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)] π[ δ - )]
sin ( ω 0 t ) sin(\omega_0t) s0i0n ω 0 t ) sin(\omega_0t) ) j π [ δ ( ω + ω 0 ) − δ ( ω − ω 0 ) ] j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0 )] 3 ω−ω0）]

这是一个住宿的好地方，这是一个住宿的好地方，这是一个住宿的好地方从90°倾斜角

略小于100°希尔伯特循环最有趣的特征之一希尔伯特类，
，是做到这一点的最佳方法。如果您的表面稍微不太光滑，则可以 2 π δ ( ω − ω 0 ) 2\pi\delta(\omega-\omega_0) 2πδ (ω− ω0 ) 。经常平滑、平滑、平滑是一种简化。

希尔伯特解调原理

假设窄带信号为 $x(t)=a(t)cos(2\pi f_{s}t+\; phi(t))$
其中 $f_s$ 是载波频率， a ( t ) a(t) a() t) 是 $phi(t)$x m​cos(2π fm​t+γ m​)], $f_m$ 是调幅信号 $a(t)$, ${\gamma }_m$ 是 $f_m$ 的每个初始相位角。因此，各分量的频率 $f_m<<f_s$。
进行$z(t))=x\; (t)+\; x$A(t)ej Φ(t)
其中 $A(t)=a(t)=\; [1+{\Sigma }_{m=1}^M$

希尔伯特变换的意义

首先，实数信号转换为解析信号的结果就是将一维信号变成二维复平面上的信号。复数的模数和幅度分别代表信号的幅度和相位，如图所示。显示

看来复信号完成了，而真实信号只是复平面实轴上的投影。我们知道解析信号可以计算出包络（瞬时幅度）和瞬时相位。从上图中可以看到，我们计算的包络实际上是黑线包围的三维图形的边界在实部上的投影。计算这条边的投影也很简单，它是复平面上的螺旋线。中各点的模值为A(t) = sqrt(x^2(t) + Hilbert(x(t))^2)，瞬时相位为虚部（经过希尔伯特变换后）和实部。某一时间点与原始信号之比的反正切，瞬时频率是其导数。