这是一个住宿的好地方

定义4.1 令曲面$S$ 的参数表示为 r = r ( u , v ) \bold{r}=\bold{r }（u，v）r=r（u， v) ，则 $$\mathbf{n}=|{\mathbf{r}}_u{\wedge \; r}_v|$$ 是$S$ 单位法线向量，曲面 $S$ 的第二种基本形式定义为 $$II\; =-<d\mathbf{r},d\mathbf{n}>$$ by n \粗体{n} n 定义为 $<{\mathbf{r}}_u,\; n>=0$ , $<{\mathbf{r}}_v,n\; >=0$ ，这两个方程的导数给出 L ≜ < r u u , n > = − < r u , n u > M ≜ < r u v , n > = − < r u , n v > = − < r v , n u > N ≜ = − \begin{对齐} L &\triangleq <\bold{r}_{uu}, \;\bold{n}> = -<\bold{r}_u, \;\bold{n}_u> \\ M&\triangleq <\bold{r}_{uv}, \;\bold{n}> = -<\bold{r}_u, \;\bold{n}_v> =-<\bold{r}_v, \;\bold{n}_u> \\ N &\triangleq <\bold{r}_{vv}, \;\bold{n}> = -<\bold{r}_v, \;\bold{n}_v> \end{对齐} LMN​≜<ruu​,n >=−<ru​,nu​>≜ <ruv​,n >=−<ru​,nv​>=− <rv​,nu​>≜<rvv​,n>=−<rv​,n v​>​第二基本形式可表示为 $$\begin{array}{rl}II& =-<d\mathbf{r},d\mathbf{n}>\; =-<{\mathbf{r}}_{u}du+{\mathbf{r}}_{v}dv,{\mathbf{n}}_{u}du+{\mathbf{n}}_{v}d\; v>\\ & \\ & =Ldud\; u+2Mdudv+Ndvdv\end{array}$$

例4.2讨论平面和圆柱的第二种基本形式。

平面 $\mathbf{r}()\; u,v)=(u,v,c)$ ,$\mathbf{n}=()\; 、0、1）$ , $II\; =\; -<d\mathbf{r},d\mathbf{n}>=0$ 。

圆柱面 $\mathbf{r}(u,v)=(x(u),y(u),\; (\; x\; (\; u\; )\; ,\; y\; (\; u\; )\; )\; (x(u),y(u))(x(u),y(u))$​ruu​=( xuu​,yuu​,0）,ruv ​= (0,0,0 ),rvv​=( ,0,0),n= (yu​,− xu ,0) κ \kappa κ 是一个曲面 ( x ( u ) , y ( u ) ) (u)) 定义，在 κ = − < r u u , n > = − x u y u + x u y u u \kappa=-<\bold{r}_{uu}, \; \bold{n}>=-x_ {uu}y_u+x_uy_{uu} − uu ,n>=−x x = − κ , M = N = 0. L. =<\bold{r}_{uu}, \;\bold{n}>=-\kappa , \quad M=N=0。 L=<ruu, n>=k, =N =0. 热电偶中随机分散的当量 I I = − k d u d u II=-\black kappa 0 =−κdudu 尤其是 $R$ ，圆柱体的第二种基本形式是 $$II=-\frac{1}{R}dudu$$ 以上结果表明，虽然平面和圆柱的第一基本形式是相同的，第二种基本形式则不同，表现为不同的形状。

示例 4.3 很容易验证半径为 $R$ 的球的第二基本形状是 I I = R ( d θ d θ + cos ⁡ 2 ( θ ) d phi d phi ) II=R(d\theta d\theta+\cos^2(\theta)d\phi d\phi) II=R（ dθdθ+cos2(θ)ddφ ) 其中， $\mathbf{n}$取为 $(-\cos (\theta )\cos (phi),-\cos (\theta )\sin (\phi ),-\sin ()$。

性质 4.4 在本节末尾给出。

性质 4.4 曲面的第二基本形式 I I = L d u d u + 2 M d u d v + N d v d v II = Ldudu+2Mdudv+Ndvdv II=Ldudu+2M d udv+Ndvdv 正定点或负定点，即 $LN-\; 在点M^2>0$ 附近，曲面形状为凸面（或凹面，由法线选择决定）。在 $LN-M\; <0$ 靠近点，表面呈马鞍形的。

5。法向曲率和 Weingarten 变换

我们在没有证据的情况下定义了表面的法向曲率。

曲面 S S S P 0 P_0 P0 ω = xi r u + η r v \ omega=\xi \bold{r}_u \eta \bold {r}_v ω=editru​​ + ηrv​​ 的法曲率 定义为 κ n ( ω ) = I I ( ω , ω ) = L Σ 2 + 2 M Σ 2 + N 2 η 2 E ψ 2 + 2 F ψ η + G 2 η 2 \kappa_n(\omega) = \frac{II(\omega,\omega)}{I(\omega, \omega)} = \frac{L\xi^2+2M ) ω)=I(ω) )II())​​= E编辑 + 4 N2η2​​

例5.1 $R$ 的球的法曲率至 1 R \frac{1}{R} R R .

这是因为 $II=I\cdot \frac{1}{R}$。这意味着球体的曲率在任何方向上都是相同的。

例5.2讨论平面和圆柱体的法向曲率。

平面法向量是常数向量，所以 $d\mathbf{n}=0$ , $II=0$ 。

定义 r(u, v) = (R cos ⁡(u R), R sin ⁡(u R), v) \bold{r}(u,v)=\left(R \cos \left( \frac{u}{R} \right), R\sin\left( \frac{u}{R}\right), v \right) u,v) =(Rcos(R u2),Rsin(Ru2)2,v) $I=d\; udu+\; d$ vdv I I = − 1 R d u d u II=-\frac{1}{ . R}嘟嘟II=−R1d udu结合 r u \bold{r }_u ru 与 r v \bold{r}_v r v 如果你有雪花 ω \omega m ω （ θ \theta θ 之一 ） ω \omega ω 与 r u \bold{r}_u ru ω = cos ⁡ ( θ ) r u + sin ⁡ ( θ ) r v \omega=\cos(\theta)\粗体{r}_u+\sin(\theta)\bold{r}_vω=cos(θ )ru +罪(θ)rv κ n ( ω ) = L cos ⁡ 2 ( θ ) + 2 M cos ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) + N sin ⁡ 2 ( θ ) E cos ⁡ 2 ( θ ) + 2 F cos ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) + G sin ⁡ 2 ( θ ) = − 1 R cos ⁡ 2 ( θ ) cos ⁡ 2 ( θ ) + sin ⁡ 2 ( θ ) = − 1 R cos ⁡ 2 ( θ ) \begin{aligned} \kappa_n(\omega ) &= \frac{L\ cos ^2(\theta)+2M\cos(\theta)\sin(\theta)+N\sin^2(\theta)} {E\cos^2(\theta); +2F\cos(\theta)\sin(\theta)+G\sin^2(\theta)} \\ &=\frac{-\frac{1}{R}\cos^2(\theta)} {\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)} \\ &= -\frac{1}{R}\cos^2(\theta) \end{对齐} κn (ω) = Ecos2(θ) + Fcos(θ)sin (θ)+G罪2(θ)Lcos2(θ) )+2Mcos( θ )sin(θ)+Nsin2(θ)​=cos2( θ)+sin2(θ) −R1​cos2（θ )​=−R1​cos 2(θ)​ 以下定义高斯映射。

定义 5.3 令曲面 $S$ 的参数表示为 r = r ( u , v ) \bold{r}=\bold{r }（u，v）r=r（u， v) ，单位法向量为 $\mathbf{n}(u,v\; )$ ，记录单位球面作为$S^2$，称为映射$$g:S{\to \; S}^2,$$ 是表面 的 高斯图 SSS。

高斯映射 $g$ 沿曲线 $(u(t),v(\; t))$ 的导数为 $$\frac{d\mathbf{n}(t\; )}{dt}={\mathbf{n}}_u\frac{du}{dt}+{\mathbf{n}}_v\frac{dv}{dt}$$ 自 $<\frac{d\mathbf{n}()\; t)}{dt},\mathbf{n}>=0$，我们得到 d n ( t ) d t \frac{d\bold{n}(t)} {dt} dtdn(t ) ​ 是 S S 的切向量S，所以 n v \b old{n}_v nv​ 都是切向量。这表明 $$(\frac{du}{dt},\frac{dv}{dt}）\to \frac{d\mathbf{n}}{dt}={\mathbf{n}}_u\frac{du}{dt}+{\mathbf{n}}_v\frac{dv}{dt}$$是切向量之间的对应关系。因此，可以定义从一个切平面到另一个切平面的线性变换 W : T P S → T P S , v = λ r u + μ r v ↦ W ( v ) = − ( λ n u + μ n v ) \begin{aligned } \mathfrak{W}: \quad &T_PS \to T_PS, \\ &\bold{v}=\lambda\bold{r}_u+\mu\bold{r}_v \mapsto \mathfrak{W}(\bold{ v })=-(\lambda\bold{n}_u+\mu\bold{n}_v) \end{对齐} W:​T P ​S→TP​S ,v=λr u​+μrv​ ↦W(v)= −(λnu​❓ +μnv​）​ W \mathfrak{W} W 称为 Weingarten 变换。