曲线曲面理论

1。显式、隐式和参数表示

曲线曲面的表示方程分为参数表示和非参数表示。非参数表示分为显式表示和隐式表示。

对于平面曲线，显示表示的一般形式为： $y=f\; (x)$

在这个方程中，a 2值的值是对应的，所以显示的方程不能代表闭合或多值曲线

若平面曲线方程表示为 $f(x\; ,y)=0$的形式称为隐式表示。隐式表示的好处是很容易判断一个点是否在曲线上

2。显性或隐性问题

(1)与坐标轴

(2)用隐函数表达不直观，画起来也不方便

(3)用显式函数表达多个值的存在性

(4) 会出现斜率无穷大的情况

3。参数方程

为了解决2的问题，可以使用参数方程

为了克服上述问题，曲线曲面方程通常以参数的形式表示。假设 $t$ 表示参数，

平面曲线上的任意点 P 可表示为： $p(t)=[x]\; (t),y(t)]$

空间曲线上任意三维点P可表示为： $p(t)=[]\; x(t),y(t)\; ,z(t)】$

等价于笛卡尔分量表示： $p(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k$

这样，给定一个$t$值，就可以得到曲线上一点的坐标

假设该曲线段对应的参数区间为 $[a,b]$ ，即 a ≤ t ≤ b a≤t≤b a≤t≤b 。为了方便间隔，间隔 [ a , b ] [a,b] [a,b] 标准化为 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]，参数变换为：
t ′ = t − a b − a t'=\frac{ t-a} {b-a} t′=b−at −a​
当取 t = a t=a t=a, t ′ = 0 t'=0 t ′=0, 当 t = b t=b t=b时， t ′ = 1 t'= 1 t′= 1，这样就实现了区间 [ a , b ] [a,b] [a,b ] 标准化为 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]

参数曲线一般可写为： $p=p(t),t\epsilon [0,1]$

类似地，曲面可以表示为双参数 $u$ 和 $v$

$p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ \ (u,v)\in[0,1]×[ 0,1]$

最简单的参数曲线是一条直线段，其端点为 $P_1,P_2$ 参数方程可表示为：
$$p(t)=p_1+(p_2-p_1）t,\epsilon [0]\; ,1]$$

4。参数方程的优点

在曲线曲面的表示中，参数方程比显式和隐式方程更有优势，主要体现在：

1. 可以满足几何不变性的要求

   是指形状的数学表示，其所表示的形状不随所采取的坐标系而变化的性质（后接$xyz）$坐标无关紧要，只与参数有关 $t$)

2. 拥有更大的自由度来控制曲线和曲面的形状

   为 $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$只有 4 个系数控制曲线的形状。

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   参数表示的三维曲线是有界点集，可以写成参数化的、连续的、单值的数学函数，其形式为：
   $$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\; )\\ z=z(t)\end{array}0\le t\le 1$$

   $$\begin{gathered} p=p(t)t\epsilon [0,1] \\ {p}^{\prime }(t)=\frac{d\; P}{dt}{p}^{\prime \prime }(t)={d\; t}^2 \end{gathered}$$

   1。位置向量

   曲线上任意点的位置向量可表示为：

   $p(t)=[x()\; t),y(t),z(t)]$

   2。剪切矢量

   选择弧长$s$为参数，当 Δ t → 0 \Delta t\to0 时Δt→0，圆弧长度 $\Delta s\to 0$，但方向不能趋于 0
   $$T=\frac{dP}{ds}=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\frac{\Delta P}{\Delta s}单个位矢量数量$$
   根据arc 长微分公式为： $(ds{)}^2=(d)\; x{)}^2+(d)y{)}^2+(dz{)}^2$

   引入参数$t$，可重写为：
   ( d s / d t ) 2 = ( d x / d t ) 2 + ( d y / d t ) 2 + ( d z / d t ) 2 = ∣ P ′ ( t ) ∣ 2 T = d P d s = d P d t ⋅ d t d s = P ′ ( t ) ∣ P ′ ( t ) ∣ 即，T 为单位切向量 ( ds/dt)^2 =(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2=|P'(t)|^2\\ T=\frac{dP}{ ds}=\frac{ dP}{dt}·\frac{dt}{ds}=\frac{P'(t)}{|P'(t)|}\ \ \ 即T为单位正切矢量 (d s/dt) =(dx/dt)2+(dy/dt）2+(dz /dt)2= ∣P′(t )∣2T=dsdP ​=d tdP​ ⋅dsdt ​=∣P′ (t)∣P′( t)​ 即T是单个位切割向量 金额
   |\frac{\Delta T}{\Delta s}|=\lim_{\Delta s\to0}|\ frac{T(s+\Delta s)-T(s)}{\Delta s}|=\lim_{\Delta s\to 0}|\frac{\Delta \theta}{\Delta s}| k=∣T′∣=Δs→0lim​∣ΔsΔT​∣= Δs→0lim​ ∣ΔsT(s+ Δs)−T(s)​∣=Δs →0lim​∣Δ sΔθ​∣
   曲率愈，表示曲线的粗糙程度愈

   曲率k的倒数$\rho =\frac{1}{k}$称为曲率半径

   曲率半径越大，圆弧越平缓，弯曲程度越平滑

   曲率半径越小，圆弧越陡，弯曲程度越陡

   4.法矢量

   法向量是与切向量垂直的支撑

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   在数学领域指的是：凸曲线和凹曲线的连接点

   对于平面曲线，相对平滑的条件为：

   ​具有二阶几何连续性 ($G^2$)

   ​ b.没有多余的拐点和奇异点（奇异点）

   ​ c.曲率变化小

   奇异性：是一个未定义的点，或者在特殊情况下不能完全有序，从而使该点出现在一个异常集合中。例如， $f(x)=\frac{1}{x}$中有一个奇点（0,0），因为这里$x=0$没有意义

   6。贝塞尔曲线的定义

   给定 $n+1$ 控制点 P i ( i = 0 , 1 , 2 , . . . . . n ) P_i (i =0,1,2,.....n) Pi​(i=0,1,2, .....n） ，然后 n n n 次 贝塞尔曲线 已定义为：
   p ( t ) = Σ i = 0 n P i B i , n ( t ) , t ∈ [ 0 , 1 ] ( 1 ) p(t)=\sum_{i=0} ^nP_iB_{i,n}(t),t\in[0,1] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1 ) p(t )=i= Σn​Pi​Bi,n​( t),tε [0,1] 》 在哪里？ (i=0,1,undefined

   由公式 $(1)$可以看出 $Bezier$ 函数是关于 $B\; 的控制点e\; rnstein$ 基函数的加权和。 贝塞尔曲线 曲线的阶数为 $n$，需要 $n+1$ 顶点到定义。

   工程项目中最常用的三倍 $Bezier$ 曲线，遵循两倍$Bezier$曲线，高阶 $Bezier$ 曲线一般很少使用。

   一次er曲线

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   Bernstein基函数的性质：

   • 对称性：$B_i^n(t)=B_{n-i}^n(1-t)$
   • $B_i^{(n)}(t)$在$t=\frac{i}{n}$达到最大值 注：当$i=0$时，最大值在$t=0$处，当$i=n$时，最大值在$t=1$处。

   Bezier曲线的性质：

   性质1.正权性

   • 正性(非负性)+权性

     • $B_i^{(n)}\ge 0$，$\forall t\in [0,1]$
     • ${\sum }_{i=1}^n{B}_i^{(n)}(t)=1,\forall t\in [0,1]$ 即$t$时刻所有基函数的值相加为1

     由正性+权性(凸组合)可以推出Bezier曲线的凸包性
     样条曲线的凸包性是指其混合函数的凸包性。混合函数的凸包性定义如下： 若将混合函数解释为权重，对于参变量 t 的任意取值，所有权重的和始终为 1， 则曲线的混合函数具有凸包性。若样条曲线的混合函数具有凸包性，相对于不具备此特性的样条曲线，其局部控制更灵敏。

   性质2.基性

   

   性质3.递推公式

   • 基函数的递推公式

     $B_i^n(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+t{B}_{i-1}^{(n-1)}(t)$，其中 B 0 0 ( t ) = 1 , B i n ( t ) = 0 若 i ∉ { 0 , . . . , n } B_0^0(t)=1,B_i^n(t)=0若i\notin\{0,...,n\} B00​(t)=1,Bin​(t)=0若i∈/​{0,...,n}

     由递推公式$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$求得。公式推导详见组合数的性质

   • 高阶的基函数由2个低阶的基函数"升阶"得到

     • 利于保持一些良好的性质

   性质4.端点插值

   • $B_0^n(0)=1,B_1^n(0)=\cdots =B_n^n(0)=0$
   • $B_0^n(1)=\cdots =B_{n-1}^n(1)=0,B_n^n(1)=1$

   

   • $Bezier$曲线经过首末两个控制顶点$p_0,p_n$

   

   性质5.导数

   

   $Bezier曲线的端点性质$：

   • 端点插值：$f(0)=p_0,f(1)=p_3$

   • 端点的切线方向与边相同：$f^{\prime }(0)=n[p_1-p_0],f^{\prime }(1)=n[p_n-p_{n-1}]$，其中n为曲线阶数

   • 端点的2阶(k)切线与3点(k+1)相关：

     $f^{\prime \prime }(0)=n(n-1)[p_2-2p_1+p_0]=2n(n-1)[\frac{p_2+p_0}{2}-p_1]$

     $f^{\prime \prime }(1)=n(n-1)[p_n-2p_{n-1}+p_{n-2}]=2n(n-1)[\frac{p_n+p_{n-2}}{2}-p_{n-1}]$

   性质6.升阶

   升阶：控制顶点变多，但是$Bezier$曲线不变

   

   7、德卡斯特里奥递推算法

   
   三次$Bezier$曲线有：