旋转的单叶双曲面是直纹面。有很多方法可以构建它。我们先看其中一个：
假设直线的参数方程为：
使用geogebra命令
b=曲线(1,t,2t,t,-5,5)画出的直线如图所示，作为旋转单叶双曲面的“规则”。
？ HlwZV9abUZ1WjNwb1pXNW5hR1ZwZEdrLHNoYWRvd18xMCx0ZXh0X2FIUjBjSE02THk5aWJHOW5MbU56Wkc0dWJtVjBMM1IxWjI5MWVIQSYjNjE7LHNpemVfMTYsy29sb3JfRkZGRkZ GL HRfNzA=/}通过命令：
a=曲面(b,m,z轴)绘制曲面。该命令的意思是直线b绕z轴旋转m弧度。
当m在
可以用另一种方式构造相同的曲面，假设
绕
例如上面的直纹曲面动画，当t=0时，直线经过
代入曲面方程，可得
所以，如果我们在曲面上得到另一个点，我们就可以计算 c。
令参数方程
获取
所以最终的曲面方程为：
时，可以看到它与上述两种方法绘制的直纹面完全重合。
根据计算的曲面方程，第二种施工方法：
绕z轴旋转，得到同直纹面的第二种构造方法：
大家熟悉的广州塔是一个旋转的单叶双曲面。它是一个直纹曲面。施工时不需要弯曲钢筋，而是对角排列。证据如下图所示。每根钢梁都是直的：
找规律，是不是和上面第一张动图中画i的过程很相似？周围的每一根柱子都是直柱。
火电厂冷却塔也采用单叶片双曲面，旨在最大限度地利用气流来提高冷却效率。
大屯发电厂外景，冷却塔主题。
设计彼此不平行的旋转轴：
经典鞍面属于方程
表示双曲抛物面，其图形如下：
它也是直纹面，可能无法直接看到。我们首先可以找到一些特殊的位置，比如坐标轴。坐标轴是直的并且看起来在一个平面上。俯视图如下：
事实上，如果用法向量为(0,1,0)和(1,0,0)的平面来切割曲面，得到的截面是一条直线：
你可以尝试计算剖面线的方程：
对于法向量 
根据点法，平面方程为：
即平面
与 x 轴的交点为
联力
所以，直线经过
使用命令
a=曲线(t,n,n t,t,-10,10)画一条直线并移动，观察扫过区域的形状：
对于法向量 
根据点法，平面方程为：
即平面
与 x 轴的交点为
联力
所以，直线经过
a=曲线(t,n,n t,t,-10,10)将两条母线绘制在一起，使图形更加美观：
第三种施工方法：
直线f穿过z轴并平行于绿色y轴。移动点C位于原点。初始状态如下图所示。连接线CD垂直于翼型直线l和x轴方向平面。
在上图中的初始状态下，让移动点c和d同时开始移动，扫过的区域形成鞍面：
为了彻底解释鞍面的形状，我们把它翻过来，看看能否在实际的鞍面上找到上图所示的两条面外直线。很容易找到。见下图：
在这种运动方式中，总有两条运动直线互相垂直的时刻。
我们在垂直时刻抓住位置。此时，相对两侧的两条相互垂直的直线就是鞍面上的直线。它们的方向向量是 
在两条不同曲面的直线之间构造公垂线并使其移动：
移动线段扫过的轨迹与原始鞍面完全吻合，可见，用相互垂直的不同平面的直线构造鞍面也是可以的。
受到神经网络中常用的 sigmoid 激活函数的启发，我想到了另一种构造马鞍状曲面的方法：
sigmoid函数的图形如下：
，功能为：Bleak
在三维空间中构造两点：
和
作直线AB，则AB为从负无穷到正无穷旋转180度的直线。它扫过的轨迹与马鞍表面非常相似。我不知道这是否属实，我需要证明这一点。
鞍面的学名是双曲抛物面，在经济学中有非常重要的应用。
直纹曲面（单叶双曲面）方程的一般公式为：
画成这样：
与直线的关系，变换公式：
所以，可以分解为两个一次曲面：
一次曲面是平面，两个方程的意思就是两个平面的交线：
绕
再把旋转球面沿着y轴方向伸缩
倍，便得到椭球方程
为什么冷却塔的形状是双曲面？这就和数学家高斯提出的绝妙定理有关了，我们直到，一张纸可以卷成一个圆柱桶，却不可以变成一个球或者半球，这是因为不论纸张还是圆柱体，它的最凸路线和最凹路线的曲率相乘都是0.
这个曲率K就叫做高斯曲率，对于圆通来说，分别为直线和圆，直线的曲率为0,所以高斯曲率为0,而展平的纸张都是直线，高斯曲率也为0.所以，纸张的形态可以在圆柱桶和平面之间变化。
但是对于球面来说，无论怎样，K1,和K2都不为0,它的高斯曲率为正的，一个高斯曲率为0的面是不可能不经过撕裂，压缩而变化的。所以，球的形态比较固定，不会轻易变化。所以高斯曲率不为0的面具有较强的结构强度和抗变形能力，可以有效避免风力影响。而之所以采用双曲面，是因为它是直纹面，以及具有较好的抗压能力，符合混凝土受力特性。
