函数式编程是一种编程范式，它把计算当作数学上的函数计算，以表达式求值取代命令执行。它不同于以变量改变为目标的面向对象编程和以流程控制为主的过程式编程。在函数式编程中，数据是不可变的，程序是一系列的函数计算。这种编程范式旨在简化代码，提高可读性和可维护性，同时降低程序的副作用和不确定性。
函数式编程基于数学基础，特别是代数和lambda演算。Lambda演算是一种抽象的计算模型，它是最早的函数式编程语言的基础。Lambda演算可以用符号表示，例如 (x.y) 表示一个函数，其中 x 和 y 是参数。Lambda演算可以用来定义函数和进行计算。
函数式编程语言是实现函数式编程范式的编程语言。Haskell 是的函数式编程语言之一。它具有丰富的类型系统，支持高阶函数和模式匹配等特性。其他流行的函数式编程语言还包括 Erlag、Scala 和 Clojure 等。
纯函数是指没有副作用的函数。在函数式编程中，纯函数是指输入和输出之间没有可观察的副作用的函数。纯函数只依赖于输入参数，不修改外部状态，也不依赖或产生任何副作用。使用纯函数可以提高代码的可测试性和可维护性。
高阶函数是指接受函数作为参数或返回函数的函数。在许多函数式编程语言中，高阶函数是很常见的。递归是高阶函数的一种常见用法，它是指一个函数调用自身的过程。递归可以用来解决许多问题，例如树的遍历和排序等。
模式匹配是一种将输入与预期的格式进行比较并相应地执行代码的技术。在函数式编程中，模式匹配通常用于处理复杂的数据结构。例如，在 Haskell 中，可以使用代数数据类型和高阶函数来实现模式匹配。模式匹配可以提高代码的可读性和可维护性。
列表处理是许多程序的核心部分。在函数式编程中，列表处理可以通过高阶函数和模式匹配等技巧实现。例如，在 Haskell 中，可以使用 map、filer 和 reduce 等高阶函数来处理列表。这些高阶函数可以接受一个函数作为参数，并应用于列表的每个元素。列表处理可以简化代码和提高代码的可重用性。
面向对象编程是一种以对象为基础的编程范式。尽管函数式编程和面向对象编程有很大的不同，但它们可以相互补充。在面向对象编程中，对象是类的实例，它们包含属性和方法。在函数式编程中，函数是一等公民，可以作为参数传递和作为返回值。尽管这两种范式有所不同，但它们可以结合使用，以实现更好的设计和更高的性能。
为了更好地理解函数式编程的概念，让我们来看一个简单的实践案例。我们将使用 Haskell 编写一个程序来计算一个数字列表的平均值。我们需要定义一个函数来计算列表的总和。然后，我们可以使用这个总和除以列表的长度来计算平均值。在这个过程中，我们不会修改任何外部状态，只依赖于输入参数来进行计算。这将演示如何在 Haskell 中使用纯函数和高阶函数来解决实际问题。
