我们小学的时候就学过，长方形的面积等于长乘以宽。
但是生活了几十年，你有没有想过：为什么长方形的面积等于长乘以宽？
或者为什么我们的祖先将定义为长方形的面积为长度乘以宽度？
（在继续之前，请忘记矩形面积等于长乘以宽这个“简单”的知识）。
想象你是一个非常好奇的农民。有一天，你无所事事，捧着一杯茶，盯着家里的一块土地，就像下面这个形状：
我们突然想知道这片土地有多大。于是我用尺子量了一下：
土地的大小是长100，宽50。
但是我们该死的好奇心并不满足于这个结果：它想知道这么大的矩形围成的面积（阴影区域）有多大——它想用一个数字来表达这个面积。
在找出答案之前，必须给它起一个名字。
你可以叫它任何东西，最好直观一点，比如面积，面积——你不妨叫它面积。
另外，我们想要求解一般矩形的面积（不是“这个”长为100、宽为50的矩形），所以我们决定使用一些符号来表示矩形的长和宽。您也可以使用 l（或任何其他符号）表示长度，使用 w 表示宽度。
l和w的含义是任意长度和宽度的矩形。
现在问题变成：长为l、宽为w的矩形的面积是多少？
注意我们如何符号化问题。
答案是：我不知道！
到目前为止，我们脑子里的数学知识只是数字、加减乘——面对这个陌生的“领域”，我们束手无策。
人类有一个天生的“优势”：善于欺骗自己和他人。
我们不知道矩形的面积是多少，对吧？你可以假装知道！
就像我们用符号表示矩形的长和宽一样，我们也可以给该面积一个符号。
你给它什么符号并不重要。没关系）。
现在我们好像又多了一点知识：我们知道长l宽w的长方形的面积是S。
但事实上我们什么都不知道——事实并非如此，我们从经验中感觉这个S与l和w有关（不清楚是什么关系）。
为了表达这个“重大”发现（S、l、w之间存在一定关系），我们给出如下缩写：S(l,w)。
（您可以使用任何其他缩写，例如 S[l,w]、l,w -> S 等。我们使用 S(l,w) 的原因纯粹是个人喜好。）
S(l,w) 和 S 是实际上表示同一事物的两个表达式。它们都表示矩形的面积，但前者还有更进一步的含义：矩形的面积与长l和宽w之间存在一定的关系。 。
接下来我们自然会想：他们之间是什么关系？
注意我们如何将解决问题转化为解决关系。
我们低着头想了半天也想不通。
就在我们快要放弃的时候，我们用眼角的余光瞥了一眼这三分之一英亩的土地，心想：既然有关系，那我试试改变一下长度和宽度，看看会发生什么到该地区。 ？
变量变量，既然是变量，那就让它变吧——只有在变化中才能找到关系。
首先，我们将长度l加倍：
我们发现长度增加一倍后，面积也明显增加了一倍，所以我们得到了以下方程：
S(2l,w) = 2S(l,w)
相信你第一次感受到象征的力量！
很有趣！
接下来尝试保持长度相同并将宽度加倍：
面积也扩大了一倍：
S(l,2w) = 2S(l,w)
我们认为还有希望！
于是我们拿起树枝，把它们画在地上——我们发现，无论长度和宽度增加（或减少）多少倍，面积都增加（或减少）相同的倍数。所以我们写了下面的公式：
S(#l,w) = #S(l,w)
S(l,#w) = #S(l,w)
#代表任意数字。上式的意思是：我们可以将矩形的长度分割成两个任意数字（#，l）的乘积，然后从括号中取出其中一个数字。宽度也是如此。
下一步是利用人类推理能力。
这也是考验人智商的时候。
S(l,w) 可以写成 S(l*1,w)。根据上面的公式，我们可以将l从括号中取出，得到：
S(l,w) = S(l*1,w) = l*S(1,w)
我们对 w 做同样的事情并得到：
S(l,w) = S(l*1,w) = l*S(1,w) = l*S(1,w*1) = l*w*S(1,1)
也就是说：S(l,w) = l*w*S(1,1)。
至此我们已经得出结论：长为l、宽为w的矩形的面积是l*w乘以长1、宽为1的矩形的面积。
我们得到的不是绝对数，而是长（正方形）长方形的面积的倍数，长1宽1。
因为这个长1宽1的矩形的面积总是固定的，所以我们不需要关心它的面积的绝对值。我们可以人为地定义为1，那么长为l、宽为w的矩形的面积为l*w。
这个想法非常重要：现实世界中我们理所当然的绝对值（比如这里的面积）实际上是相对值。
例如，3米有多长？这取决于1米有多长。
1分钟有多长？这取决于1秒有多长。
这些用作测量参考，我们称之为单位。
最低级别的单位是人为定义的，在人类历史的不同时期可能有不同的定义。例如，中国古代的1斤和现代的1斤在重量上并不相等，但并不妨碍两个时代人们的日常使用。
在普通人眼里，数学是人类最严谨的学科，仿佛是神灵赐予人类的超然礼物。
数学是严谨的，但数学的基础不是先验的，而是源自人类生活的经验。
数学虽然充满了大量的公理、证明等，但数学的最低层次是一些“简单”的公设（公理，例如平面几何中的五大公设）。小学老师告诉我们：所谓的公理是不需要证明的（不证自明的）。这个所谓的“不言而喻”只不过是根据经验。
不仅数学中最基本的公理是基于经验的，数学中的很多验证过程也是基于经验的——虽然听起来很不可思议。
我们回顾一下矩形面积的推导过程：
一开始我们只是出于好奇，想知道如何用数字来表示这样一个矩形区域（定义问题）。
我们发现不知道如何解决，只好给它起了一个代号（符号化）。
此外，我们发现矩形有两个属性：长度和宽度（参数化）。
经验告诉我们，长方形的面积和长方形的长、宽之间存在一定的关系（关系）。
因此，我们尝试根据经验找出它们之间存在哪些关系（寻找模式）。
经过详尽的研究，我们得到了几个有趣的方程。
经过进一步的思考和观察，我们发现这些方程可以推广为一般方程（即其中的具体值可以是可变的）。 (关系泛化)
面对广义方程，我们利用已有的知识（比如w = w * 1，即一个数乘以1等于它自己，这是由乘法的定义得出的结论），最终推导出我们想要什么(根据现有知识进行推理)
在整个过程中，经验、观察、实验、象征扮演着非常重要的角色。
这涉及到我们如何思考和解决问题。
当我们面对一个不熟悉（而且看似困难）的问题时，我们的本能反应是感到困惑。
然后他开始挠头。
我们要做的就是在挠头之前先冷静下来，看看远方，做几次深呼吸，把问题多思考几遍。
在了解问题是什么之前，不要开始解决问题。
我们以字符串编辑距离为例。
问题：给定两个字符串str1和str2，求str1变成str2所需的最少操作次数。
当您第一次遇到这个问题时有何感受？反正我很迷茫，就像狗咬刺猬一样，无处下牙。
然后我就觉得：我好像不太明白这个问题？
所以先分析问题本身。
“已经经过了多少次操作”是什么意思？
如果你想知道进行了多少次操作，你至少要知道有哪些操作，对吧？
我们记得老农夫想到的是三分之一英亩——而我们现在面临的是两个抽象（符号）str1和str2。
所以接下来需要将抽象问题具体化。
我们不妨写两个特定的字符串：
str1 =“abcd”
str2 =“acdb”
现在就变成了一个具体的问题：如何用最少的操作次数将字符串“abcd”变成“acdb”？
这个问题其实分为两部分：
一个字符串想要变成另一个字符串，必须一个字符一个字符地处理（不看一个字符就无法做出正确的决定）。
所以“操作”的概念就变成了“一个角色如何变成另一个角色”的问题。
我们看第一个字符：str1中的a如何变成str2中的a？
不用想，它们是平等的，不需要做任何操作——不做任何操作本身就是一种操作。
那么我们看第二个字符：str1中的b如何变成str2中的c？
它们是不同的，因此必须采取一些行动。
一种解决方案是将 b 替换为 为 c。
第二种解决办法是删除b，让其他字符（可能是插入的新字符）处理c字符。
第三个选项是在 a 和 b 之间插入 c。
没有其他计划。
至此我们已经弄清楚所谓的“操作”是什么了：什么都不做、替换、删除、插入，一共四种。
然后我们加上可怕的修饰语“最少”——你会发现你的头又变大了。
如果没有“最低”限制，其实很容易做到。最无脑的做法就是先把str1中的所有字符删除，然后再将str2中的每个字符一个个插入。步骤数为 n + m（两个字符串的长度之和）。
这个最无脑的解法虽然没什么用，但它揭示了这个问题的最大运算步骤数是n+m，所以如果你想出的解法比这个大，肯定有问题。
我们回到上面的具体字符串：如何通过至少操作将字符串“abcd”变成“acdb”？
我们一一尝试。
一种解决办法是：保持第一个a不变，删除第二个b，最后在d后面插入b。步数为2。
然后我们通过人肉尝试了其他解，发现所有解中最小的是2。
然而，问题似乎没有任何进展——我们仍然不知道如何找到的最小步数（人肉除外）。
如果我们的思维停留在具体问题上，我们就不太可能找到问题的解决方案。
人类区别于其他动物的地方就在于，人类可以把具体的事物（现象）提升为抽象的符号，进而形成思维模型（这也是数学的秘密，现在你应该能明白为什么数学家那么喜欢玩了）带符号）。
具体化问题有助于我们深入理解问题本身。现在是时候将我们的思维从具体的层面回归到抽象的层面了。
让我们首先对字符串本身进行抽象表示。
字符串是一个字符序列，其本质是一个集合（还有一个附加限制：与顺序相关，即里面的字符有特定的顺序）。
那么问题就变成了：如何通过最小数量的操作序列 \(\{x^\prime,y^\prime,z^\prime\cdots\}_m\)?
答案是：我不知道！
当农民找不到该区域时，他做了一个惊人的举动：他给了它一个符号！
我们也这样做。
我们假设 \(\{x,y,z\cdots\}_n\) -> \(\{x^\prime,y^\prime,z^\prime \cdots\}_m\)的最小编辑距离为N（无论如何计算）。
就像农民用S(l,w)代替S来反映面积和边长的关系一样，我们也将参数放入：
N(str1, str2)
这个组合符号的意思是：可以计算出将字符串str1转换为str2的最小操作步数（最小编辑距离）。
至于如何计算，我们暂时不关心。
这个东西看起来像编程中的接口吗？
作为一个程序员，你可能会觉得这个N太丑了，所以我们把符号（名字）改成一个“人性化”的点：shortestEditDist(str1, str2)。
然后——我们盯着这个奇怪的符号想了很久，却什么也做不了！
符号本身无法告诉我们更多信息，我们必须启动推理马达来处理符号。
对于集合类问题，常用的思维模式是：从子集的解推导出父集的解。
具体来说，对于“字符串”类型的问题，如果我们已经知道某个子字符串的解，看看是否可以通过这个子字符串推导出某个父字符串的解。
此问题解决假设的基础是： 子字符串和父字符串具有相同的模式。
所以我们稍微调整了一下“无知又牛逼”的组合符号（也就是功能）：
最短编辑距离(str1, str2, i, j)
还有两个参数i和j。意思是：我知道子串 str1[0,i] -> str2[0,j]（其中0<=i 如图： 我们想进一步推动这个问题。 所以我们问自己：如何得到 str1[0,i+1] -> str2[0,j+1] 的解？ 根据我们之前对字符转换的分析，有四种操作： 选项一：当d等于\(d^\prime\)时，无需任何操作。 如图： 公式：shortestEditDist(str1, str2, i+1, j+1) = ShortestEditDist(str1, str2, i, j) 否则： 方案2：先求str1[0,i] -> str2[0,j+1]的解，然后删除d。 如图： 公式：最短编辑距离(str1, str2, i+1, j+1) = 最短编辑距离(str1, str2, i, j+1) + 1 +1代表删除d的操作。 方案三：先求str1[0,i+1] -> str2[0,j]的解，然后在结尾。 如图： 公式：最短编辑距离(str1, str2, i+1, j+1) = 最短编辑距离(str1, str2, i+1, j) + 1 选项4：先求str1[0,i] -> str2[0,j]的解，然后将d替换为\(d^\prime\)。 如图： 公式：最短编辑距离(str1, str2, i+1, j+1) = 最短编辑距离(str1, str2, i, j) + 1 四个选项，我该用谁？我不知道，只能全部找出来，选结果最小的一个。 看完上面的推导，你是否感到愧疚？ 通过推销一堆你“一无所知”的公式来自娱自乐？ 不要不服气。之前的面积公式不就是在“一无所知”的情况下自行推断出来的吗？ 既然我们假设我们已经知道了shortestEditDist(str1, str2, i, j)，而这里i和j的范围是0<=i 注：严格来说，i+1和j+1会越界，但我们暂时不考虑越界的情况。 所以我们可以将shortestEditDist(str1, str2, i+1, j)放在等式右边作为“已知值”来求shortestEditDist(str1, str2, i+1, j+1)。 有的同学可能会说：那我们也可以假设shortestEditDist(str1, str2, i+1, j+1)是已知的？ 是的，你可以做出任何假设，但如果所有问题都“假设已知”，那么你真的是在欺骗自己和别人，对解决问题不会有任何好处。 这种看似文字游戏的逻辑把戏，本质上是在寻找关系。 是的，我们最看重的是关系，而不是某个公式的绝对解。因此，在推理时，我们可以将一些事物设定为已知，并进一步将其他事物符号化（想想高中学过的所谓“复合函数”，以及大学学过的高级推导——大多你都记不住）。 我们来写代码： 我们在之前的推导基础上实现了shortestEditDist（四种方案）： 就是这样。 研究过最小编辑距离的同学可能知道，最小编辑距离可以通过动态规划来求解，性能更高。 本文之所以使用暴力递归，一方面是因为它与动态规划本质上是相同的思想，都是递归（或归纳）问题解决。懂动态规划的同学可以很轻松地将暴力递归转化为动态规划，但不会写递归的同学比看动态规划直观、清晰得多。 第一次接触递归思维的学生都觉得不可思议。他们怎么可能在不知情的情况下算出结果呢？ 其实就是我们高中时学过的强大又陌生的数学归纳法。它要求问题具有三个特征： 思路很简单：因为\(S_{n+1}\)的解可以通过\(S_n\)的解得到，而我们知道了\(S_0\)，那么我们就必须知道\(S_1\)的解，然后才能知道\(S_2\)的解 … 虽然推导矩形面积和求解字符串最小编辑距离在逻辑上有很大差异，但思维模式却有很多相似之处：
//我可以计算出将子串str1[0,i]转换为str2[0,j]的最小编辑距离，其中0 <= i < n, 0 <= j < m
func ShortestEditDist(str1, str2 string, i, j int) int {
// 我还没想好如何实现它...
}
//求str1转str2的最小编辑距离
func EditDistance(str1, str2 string) int {
// 既然你做了这个声明，我就这样使用它
// 我不明白，只有你在问！
返回最短编辑距离(str1, str2, len(str1)-1, len(str2)-1);
}
//我可以计算出将子串str1[0,i]转换为str2[0,j]的最小编辑距离，其中0 <= i < n, 0 <= j < m
// 实现方法：用shortestEditDist(str1, str2, i-1, j-1)求解shortestEditDist(str1, str2, i, j)
// 注意：之前的推导都是从i,j -> i+1,j+1，本质是一样的
func ShortestEditDist(str1, str2 string, i, j int) int {
// 在考虑具体情况之前，首先考虑递归函数的终止条件
如果 i == -1 && j == -1 {
// 都是空字符串，不需要做任何处理
返回0
}
如果 j == -1 {
// str2的子串为空串，str1的子串[0,i]只能通过删除操作转为str2的子串。
返回 i + 1
}
如果我==-1{
// str1 的子字符串是空字符串。这时只能使用插入操作将其转换为str2的子串。
返回j+1
}
// 一般来说，根据我们之前的讨论，有四种情况
// 情况1：当前两个字符相同
// 选项一
如果 str1[i] == str2[j] {// 两个字符相同，先将str1[0,i-1]转换为str2[j-1]，然后这一步什么都不做
返回最短编辑距离（str1，str2，i-1，j-1）
}
//情况2：两个字符不同，有三种情况
// 因为我们不知道这一步中哪个解的步数最少，所以只能全部尝试一下，然后取最小值。
// 方案2：先用str1[0,i-1]转换str2[0,j]，然后删除str1[i]
c1 := 最短编辑距离(str1, str2, i-1, j) + 1
// 方案3：先用str1[0,i]转换str2[0,j-1]，然后再插入str2[j]个字符
c2 := 最短编辑距离(str1, str2, i, j-1) + 1
// 方案4：先用str1[0,i-1]转换str2[0,j-1]，然后用str2[j]替换str1[i]
c3 := 最短编辑距离(str1, str2, i - 1, j - 1) + 1
// 取三种情况中成本最低的
返回 minInt(c1, c2, c3)
}
总结
